字符串匹配KMP算法详解-白红宇

字符串匹配KMP算法详解

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发布时间：2019-06-13

本文共 16373 字，大约阅读时间需要 54 分钟。

1. 引言

以前看过很多次KMP算法，一直觉得很有用，但都没有搞明白，一方面是网上很少有比较详细的通俗易懂的讲解，另一方面也怪自己没有沉下心来研究。最近在leetcode上又遇见字符串匹配的题目，以此为契机，好好总结一下KMP算法。有何疑问，欢迎评论交流。

2. 暴力匹配算法（传统算法）

假设现在有这样一个问题：有一个文本串S，和一个模式串P，现在要判断S中是否有和P匹配的子串，并查找P在S中的位置，怎么解决呢？

如果用暴力匹配的思路，并假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：

如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；如果匹配失败（即S[i]! = P[j]），令i = i - j + 1，j = 0，即每次匹配失败时，i 回溯到上次开始匹配的下一个位置，j 被置为0。

理清楚了暴力匹配算法的流程及内在的逻辑，咱们可以写出暴力匹配的代码，如下：

1 /** 2      * 暴力破解法 3      * 4      * @param ss 主串 5      * @param ps 模式串 6      * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1 7      */ 8  9     public int violentMatch(String ss, String ps) {10         char[] s = ss.toCharArray();11         char[] p = ps.toCharArray();12 13         int i = 0; // 主串的位置14         int j = 0; // 模式串的位置15         while (i < s.length && j < p.length) {16             if (s[i] == p[j]) {17                 //①如果当前字符匹配成功（即s[i]==p[j]），则i++，j++18                 i++;19                 j++;20             } else {21                 //②如果失败（即s[i]!=p[j]），令i=i-j+1，j=022                 i = i - j + 1;23                 j = 0;24             }25         }26         if (j == p.length) {27             return i - j;28         } else {29             return -1;30         }31     }

举个例子，如果给定文本串S“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串P“ABCDABD”，现在要拿模式串P去跟文本串S匹配，整个过程如下所示：

（1）S[0]为B，P[0]为A，不匹配，故执行第②条指令：“如果失败（即S[i]! = P[j]），令i = i - j + 1，j = 0”，S[1]跟P[0]匹配，相当于模式串要往右移动一位（i=1，j=0）

（2） S[1]跟P[0]还是不匹配，继续执行第②条指令：“如果失败（即S[i]! = P[j]），令i = i - j + 1，j = 0”，S[2]跟P[0]匹配（i=2，j=0），从而模式串不断的向右移动一位（不断的执行“令i = i - j + 1，j = 0”，i从2变到4，j一直为0）

（3）直到S[4]跟P[0]匹配成功（i=4，j=0），此时按照上面的暴力匹配算法的思路，转而执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，可得S[i]为S[5]，P[j]为P[1]，即接下来S[5]跟P[1]匹配（i=5，j=1）

（4） S[5]跟P[1]匹配成功，继续执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，得到S[6]跟P[2]匹配（i=6，j=2），如此进行下去。

（5）直到S[10]为空格字符，P[6]为字符D（i=10，j=6），因为不匹配，重新执行第②条指令：“如果失败（即S[i]! = P[j]），令i = i - j + 1，j = 0”，相当于S[5]跟P[0]匹配（i=5，j=0）。

（6）至此，我们可以看到，如果按照暴力匹配算法的思路，尽管之前文本串和模式串已经分别匹配到了S[9]、P[5]，但因为S[10]跟P[6]不匹配，所以文本串回溯到S[5]，模式串回溯到P[0]，从而让S[5]跟P[0]匹配。

而S[5]肯定跟P[0]匹配失败。为什么呢？因为在之前第4步匹配中，我们已经得知S[5] = P[1] = B，而P[0] = A，即P[1] != P[0]，故S[5]必定不等于P[0]，所以回溯过去必然会导致失败。那有没有一种算法，让i 不往回退，只需要移动j 即可呢？

答案是肯定的。这种算法就是本文的主旨KMP算法，它利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i 不回溯，通过修改j 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。

3. KMP算法

3.1 定义

KMP算法是一种改进的算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为————操作（简称KMP算法）。KMP常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。O(m+n)。

下面先直接给出KMP的算法流程（如果感到一点点不适，没关系，坚持下，稍后会有具体步骤及解释）：

假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失败时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失败字符所在位置 - 失败字符对应的next 值（next 数组的求解会在下文的中详细阐述），即移动的实际位数为：j - next[j]，且此值大于等于1。很快，你也会意识到next 数组各值的含义：若k=next[j]，代表模式串P中当前字符之前的字符串中，最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的：

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

此也意味着在某个字符匹配失败时，该字符对应的next 值会告诉你下一步匹配中，模式串应该跳到哪个位置（跳到next [j] 的位置）。如果next [j] 等于0或-1，则跳到模式串的开头字符，若next [j] = k 且 k > 0，代表下次匹配跳到j 之前的某个字符，而不是跳到开头，且具体跳过了k 个字符。

如果用公式证明，是这样的：

当S[i] != P[j]时

有S[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：S[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

转换成代码表示，则是：

1 /** 2      * KMP算法 3      * 4      * @param ss 主串 5      * @param ps 模式串 6      * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1 7      */ 8     public static int KMP(String ss, String ps) { 9         char[] s = ss.toCharArray();10         char[] p = ps.toCharArray();11 12         int i = 0; // 主串的位置13         int j = 0; // 模式串的位置14         int[] next = getNext(ps);15         while (i < s.length && j < p.length) {16             //①如果j=-1，或者当前字符匹配成功（即S[i]==P[j]），都令i++，j++17             if (j == -1 || s[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归018                 i++;19                 j++;20             } else {21                 //②如果j!=-1，且当前字符匹配失败（即S[i]!=P[j]），则令i不变，j=next[j]，j右移j-next[j]22                 j = next[j];23             }24         }25         if (j == p.length) {26             return i - j;27         } else {28             return -1;29         }30     }

继续拿之前的例子来说，当S[10]跟P[6]匹配失败时，KMP不是跟暴力匹配那样简单的把模式串右移一位，而是执行第②条指令：“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，即j 从6变到2（后面我们将求得P[6]，即字符D对应的next 值为2），所以相当于模式串向右移动的位数为j - next[j]（j - next[j] =6-2 = 4）。

向右移动4位后，S[10]跟P[2]继续匹配。为什么要向右移动4位呢，因为移动4位后，模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着，从而不用让i 回溯。相当于在除去字符D的模式串子串中寻找相同的前缀和后缀，然后根据前缀后缀求出next 数组，最后基于next 数组进行匹配（不关心next 数组是怎么求来的，只想看匹配过程是咋样的，可直接跳到下文）。

3.2 KMP算法步骤

根据以上介绍，KMP算法的求解步骤概括如下：

（1）寻找模式串的每个子串前缀和后缀最长公共元素长度

对于P = p0 p1 ...pj-1 pj，寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 ...pk-1 pk = pj- k pj-k+1...pj-1 pj，那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。举个例子，如果给定的模式串为“abab”，那么它的各个子串的前缀后缀的公共元素的最大长度如下表格所示：

比如对于字符串aba来说，它有长度为1的相同前缀后缀a；而对于字符串abab来说，它有长度为2的相同前缀后缀ab（相同前缀后缀的长度为k + 1，k + 1 = 2）。

（2）求next数组

next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀，所以通过第（1）步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后，只要稍作变形即可：将第①步骤中求得的值整体右移一位，然后初值赋为-1，如下表格所示：

比如对于aba来说，第3个字符a之前的字符串ab中有长度为0的相同前缀后缀，所以第3个字符a对应的next值为0；而对于abab来说，第4个字符b之前的字符串aba中有长度为1的相同前缀后缀a，所以第4个字符b对应的next值为1（相同前缀后缀的长度为k，k = 1）。

（3）根据next数组进行匹配

若匹配失配，j = next [j]，模式串向右移动的位数为：j - next[j]。换言之，当模式串的后缀pj-k pj-k+1, ..., pj-1 跟文本串si-k si-k+1, ..., si-1匹配成功，但pj 跟si匹配失败时，因为next[j] = k，相当于在不包含p[j]的模式串中有最大长度为k 的相同前缀和后缀，即p0 p1 ...pk-1 = pj-k pj-k+1...pj-1，故令j = next[j]，从而让模式串右移j - next[j] 位，使得模式串的前缀p0 p1, ..., pk-1对应着文本串 si-k si-k+1, ..., si-1，而后让pk 跟si 继续匹配。如下图所示：

综上，KMP的next 数组相当于告诉我们：当模式串中的某个字符跟文本串中的某个字符匹配失配时，模式串下一步应该跳到哪个位置。如模式串中在j 处的字符跟文本串在i 处的字符匹配失配时，下一步用next [j] 处的字符继续跟文本串i 处的字符匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] 位。

接下来，分别具体解释上述3个步骤。

3.3 算法解释

3.3.1 寻找最长前缀后缀

如果给定的模式串是：“ABCDABD”，从左至右遍历整个模式串，其各个子串的前缀后缀分别如下表格所示：

也就是说，原模式串子串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表为（下简称《最大长度表》）：

3.3.2 基于《最大长度表》匹配

因为模式串的子串中首尾可能会有重复的字符，故可得出下述结论：

匹配失败时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

下面，咱们就结合之前的《最大长度表》和上述结论，进行字符串的匹配。如果给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：

（1）因为模式串中的字符A跟文本串中的字符B、B、C、空格一开始就不匹配，所以不必考虑结论，直接将模式串不断的右移一位即可，直到模式串中的字符A跟文本串的第5个字符A匹配成功：

（2）继续往后匹配，当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失败，显而易见，模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢？因为此时已经匹配的字符数为6个（ABCDAB），然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2，所以根据之前的结论，可知需要向右移动6 - 2 = 4 位。

（3）模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，因为此时已经匹配了2个字符（AB），且上一位字符B对应的最大长度值为0，所以向右移动：2 - 0 =2 位。

（4）A与空格失配，向右移动1 位。

（5）继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 - 2 = 4 位。

（6）经历第5步后，发现匹配成功，过程结束。

通过上述匹配过程可以看出，问题的关键就是寻找模式串中最大长度的相同前缀和后缀，找到了模式串中每个字符之前的前缀和后缀公共部分的最大长度后，便可基于此匹配。而这个最大长度便正是next 数组要表达的含义。

3.3.3 根据《最大长度表》求next 数组

由上文，我们已经知道，字符串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度分别为：

而且，根据这个表可以得出下述结论：

失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数- 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

上文利用这个表和结论进行匹配时，我们发现，当匹配到一个字符失配时，其实没必要考虑当前失配的字符，更何况我们每次失配时，都是看的失配字符的上一位字符对应的最大长度值。如此，便引出了next 数组。

给定字符串“ABCDABD”，可求得它的next 数组如下：

把next 数组跟之前求得的最大长度表对比后，不难发现，next 数组相当于“最大长度值” 整体向右移动一位，然后初始值赋为-1。意识到了这一点，你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单：就是找最大对称长度的前缀后缀，然后整体右移一位，初值赋为-1（当然，你也可以直接计算某个字符对应的next值，就是看这个字符之前的字符串中有多大长度的相同前缀后缀）。

换言之，对于给定的模式串：ABCDABD，它的最大长度表及next 数组分别如下：

根据最大长度表求出了next 数组后，从而有

失配时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置- 失配字符对应的next 值

而后，你会发现，无论是基于《最大长度表》的匹配，还是基于next 数组的匹配，两者得出来的向右移动的位数是一样的。为什么呢？因为：

根据《最大长度表》，失配时，模式串向右移动的位数 = 已经匹配的字符数 - 失配字符的上一位字符的最大长度值而根据《next 数组》，失配时，模式串向右移动的位数 = 失配字符的位置 - 失配字符对应的next 值其中，从0开始计数时，失配字符的位置 = 已经匹配的字符数（失配字符不计数），而失配字符对应的next 值 =失配字符的上一位字符的最大长度值，两相比较，结果必然完全一致。

所以，你可以把《最大长度表》看做是next 数组的雏形，甚至就把它当做next 数组也是可以的，区别不过是怎么用的问题。

3.3.4 通过代码递推计算next 数组

接下来，咱们来写代码求下next 数组。

基于之前的理解，可知计算next 数组的方法可以采用递推：

（1）next数组的本质：

如果对于值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，相当于next[j] = k。此意味着什么呢？究其本质，next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中，有长度为k 的相同前缀和后缀。有了这个next 数组，在KMP匹配中，当模式串中j 处的字符匹配失败时，下一步用next[j]处的字符继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动j - next[j] 位。

举个例子，如下图，根据模式串“ABCDABD”的next 数组可知失配位置的字符D对应的next 值为2，代表字符D前有长度为2的相同前缀和后缀（这个相同的前缀后缀即为“AB”），失配后，模式串需要向右移动j - next [j] = 6 - 2 =4位。

向右移动4位后，模式串中的字符C继续跟文本串匹配。

（2）next数组的求解方法

下面的问题是：已知next [0, ..., j]，如何求出next [j + 1]呢？

对于P的前j+1个序列字符，有两种情况：

①若p[k] == p[j]时，仔细观察下图：

可以得出以下规律：

　　当P[k] == P[j]时，

　　有next[j+1] == next[j] + 1=k+1。（next[j] == k）

其实这个是可以证明的：

　　因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

　　这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。

　　即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

②若p[k ] ≠ p[j]时，比如下图所示，对于字符串ABACDABABC：

像这种情况，令k = next[k]，如果p[next[k]]==p[j]，

则next[j+1]=next[k]+1，否则继续递归前缀索引k=next[k]。为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

观察上图，因为p[k]≠p[j]，即C和B不匹配，那么就不能用next[j+1]=next[k]+1，此时只能用坐标k之前的更短的子串来和j匹配，最笨的方法时用k之前的所有存在的子串来匹配，但考虑到next数组的含义，k对应的next[k]的表示k对应的字符之前的子串最大的相同前缀和后缀的长度，故直接将k左移到next[k]位置，继续匹配ji

相当于在字符p[j+1]之前不存在长度为k+1的前缀"p0 p1, …, pk-1 pk"跟后缀“pj-k pj-k+1, …, pj-1 pj"相等，那么是否可能存在另一个值t+1 < k+1，使得长度更小的前缀 “p0 p1, …, pt-1 pt” 等于长度更小的后缀 “pj-t pj-t+1, …, pj-1 pj” 呢？如果存在，那么这个t+1 便是next[ j+1]的值，此相当于利用已经求得的next 数组（next [0, ..., k, ..., j]）进行P串前缀跟P串后缀的匹配。

一般的文章或教材可能就此一笔带过，但大部分的初学者可能还是不能很好的理解上述求解next 数组的原理，故接下来，我再来着重说明下。

如下图所示，假定给定模式串ABCDABCE，且已知next [j] = k（相当于“p0 pk-1” = “pj-k pj-1” = AB，可以看出k为2），现要求next [j + 1]等于多少？因为pk = pj = C，所以next[j + 1] = next[j] + 1 = k + 1（可以看出next[j + 1] = 3）。代表字符E前的模式串中，有长度k+1 的相同前缀后缀。

但如果pk != pj 呢？说明“p0 pk-1 pk” ≠ “pj-k pj-1 pj”。换言之，当pk != pj后，字符E前有多大长度的相同前缀后缀呢？很明显，因为C不同于D，所以ABC 跟 ABD不相同，即字符E前的模式串没有长度为k+1的相同前缀后缀，也就不能再简单的令：next[j + 1] = next[j] + 1 。所以，咱们只能去寻找长度更短一点的相同前缀和后缀。

结合上图来讲，若能在前缀“ p0 pk-1 pk ” 中不断的递归前缀索引k = next [k]，找到一个字符pk’ 也为D，代表pk’ = pj，且满足p0 pk'-1 pk' = pj-k' pj-1 pj，则最大相同的前缀后缀长度为k' + 1，从而next [j + 1] = k’ + 1 = next [k' ] + 1。否则前缀中没有D，则代表没有相同的前缀后缀，next [j + 1] = 0。

那为何递归前缀索引k = next[k]，就能找到长度更短的相同前缀后缀呢？这又归根到next数组的含义。

我们拿前缀 p0 pk-1 pk 去跟后缀pj-k pj-1 pj匹配，如果pk 跟pj 失配，下一步就是用p[next[k]] 去跟pj 继续匹配，如果p[ next[k] ]跟pj还是不匹配，则需要寻找长度更短的相同前缀后缀，即下一步用p[ next[ next[k] ] ]去跟pj匹配。此过程相当于模式串的自我匹配，所以不断的递归k = next[k]，直到要么找到长度更短的相同前缀后缀，要么没有长度更短的相同前缀后缀。如下图所示：

所以，因最终在前缀ABC中没有找到D，故E的next 值为0：

模式串的后缀：ABDE

模式串的前缀：ABC

前缀右移两位： ABC

读到此，有的读者可能又有疑问了，那能否举一个能在前缀中找到字符D的例子呢？OK，咱们便来看一个能在前缀中找到字符D的例子，如下图所示：

给定模式串DABCDABDE，我们很顺利的求得字符D之前的“DABCDAB”的各个子串的最长相同前缀后缀的长度分别为0 0 0 0 1 2 3，但当遍历到字符D，要求包括D在内的“DABCDABD”最长相同前缀后缀时，我们发现pj处的字符D跟pk处的字符C不一样，换言之，前缀DABC的最后一个字符C 跟后缀DABD的最后一个字符D不相同，所以不存在长度为4的相同前缀后缀。

怎么办呢？既然没有长度为4的相同前缀后缀，咱们可以寻找长度短点的相同前缀后缀，最终，因在p0处发现也有个字符D，p0 = pj，所以p[j]对应的长度值为1，相当于E对应的next 值为1（即字符E之前的字符串“DABCDABD”中有长度为1的相同前缀和后缀）。

综上，可以通过递推求得next 数组，代码如下所示：

1 public int[] getNext(String ps) { 2         char[] p = ps.toCharArray(); 3         int[] next = new int[p.length]; 4         next[0] = -1; 5         int j = 0; 6         int k = -1; 7         while (j < p.length - 1) { 8             //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀 9             if (k == -1 || p[k] == p[j]) {10                 next[++j] = ++k;//即当p[k] == p[j]时，next[j+1] == next[j] + 1=k+111             } else {12                 k = next[k];13             }14         }15         return next;16     }

从上述表格可以看出，无论是之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组，还是之后通过代码递推计算求得的next 数组，结果是完全一致的。

还是给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：

“假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值，即移动的实际位数为：j - next[j]，且此值大于等于1。”

1. 最开始匹配时 P[0]跟S[0]匹配失败所以执行“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，所以j = -1，故转而执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]继续跟S[1]匹配。 P[0]跟S[1]又失配，j再次等于-1，i、j继续自增，从而P[0]跟S[2]匹配。P[0]跟S[2]失配后，P[0]又跟S[3]匹配。P[0]跟S[3]再失配，直到P[0]跟S[4]匹配成功，开始执行此条指令的后半段：“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”。

2. P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, ...，直到当匹配到P[6]处的字符D时失配（即S[10] != P[6]），由于P[6]处的D对应的next 值为2，所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 6 - 2 =4 位。

3. 向右移动4位后，P[2]处的C再次失配，由于C对应的next值为0，所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。

4. 移动两位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位。

5. P[6]处的D再次失配，因为P[6]对应的next值为2，故下一步用P[2]继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。

6. 匹配成功，过程结束。

匹配过程一模一样。也从侧面佐证了，next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位，且把初值赋为-1 即可。

3.3.6 基于《最大长度表》与基于《next 数组》等价

我们已经知道，利用next 数组进行匹配失配时，模式串向右移动 j - next [ j ] 位，等价于已匹配字符数- 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值。原因是：

j 从0开始计数，那么当数到失配字符时，j 的数值就是已匹配的字符数；由于next 数组是由最大长度值表整体向右移动一位（且初值赋为-1）得到的，那么失配字符的上一位字符所对应的最大长度值，即为当前失配字符的next 值。

但为何本文不直接利用next 数组进行匹配呢？因为next 数组不好求，而一个字符串的前缀后缀的公共元素的最大长度值很容易求。例如若给定模式串“ababa”，要你快速口算出其next 数组，乍一看，每次求对应字符的next值时，还得把该字符排除之外，然后看该字符之前的字符串中有最大长度为多大的相同前缀后缀，此过程不够直接。而如果让你求其前缀后缀公共元素的最大长度，则很容易直接得出结果：0 0 1 2 3，如下表格所示：

然后这5个数字全部整体右移一位，且初值赋为-1，即得到其next 数组：-1 0 0 1 2。

3.3.7 Next 数组与有限状态自动机

next 负责把模式串向前移动，且当第j位不匹配的时候，用第next[j]位和主串匹配，就像打了张“表”。此外，next 也可以看作有限状态自动机的状态，在已经读了多少字符的情况下，失配后，前面读的若干个字符是有用的。

3.3.8 Next 数组的优化

行文至此，咱们全面了解了暴力匹配的思路、KMP算法的原理、流程、流程之间的内在逻辑联系，以及next 数组的简单求解（《最大长度表》整体右移一位，然后初值赋为-1）和代码求解，最后基于《next 数组》的匹配，看似洋洋洒洒，清晰透彻，但以上忽略了一个小问题。

比如，如果用之前的next 数组方法求模式串“abab”的next 数组，可得其next 数组为-1 0 0 1（0 0 1 2整体右移一位，初值赋为-1），当它跟下图中的文本串去匹配的时候，发现b跟c失配，于是模式串右移j - next[j] = 3 - 1 =2位。

右移2位后，b又跟c失配。事实上，因为在上一步的匹配中，已经得知p[3] = b，与s[3] = c失配，而右移两位之后，让p[ next[3] ] = p[1] = b 再跟s[3]匹配时，必然失配。问题出在哪呢？

问题出在不该出现p[j] = p[ next[j] ]。为什么呢？理由是：当p[j] != s[i] 时，下次匹配必然是p[ next [j]] 跟s[i]匹配，如果p[j] = p[ next[j] ]，必然导致后一步匹配失败（因为p[j]已经跟s[i]失配，然后你还用跟p[j]等同的值p[next[j]]去跟s[i]匹配，很显然，必然失配），所以不能允许p[j] = p[ next[j ]]。如果出现了p[j] = p[ next[j] ]咋办呢？如果出现了，则需要再次递归，即令next[j] = next[ next[j] ]。

所以，咱们得修改下求next 数组的代码。

1 //优化过后的next数组求法 2     public static int[] getNext(String ps) { 3         char[] p = ps.toCharArray(); 4         int[] next = new int[p.length]; 5         next[0] = -1; 6         int j = 0; 7         int k = -1; 8         while (j < p.length - 1) { 9             //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀10             if (k == -1 || p[j] == p[k]) {11                 //较之前next数组求法，改动在下面4行12                 if (p[++j] == p[++k]) {13                     next[j]=next[k];// 当两个字符相等时要跳过14                 } else {15                     next[j]=k;//之前只有这一行16                 }17             } else {18                 k = next[k];19             }20         }21         return next;22     }

利用优化过后的next 数组求法，可知模式串“abab”的新next数组为：-1 0 -1 0。可能有些读者会问：原始next 数组是前缀后缀最长公共元素长度值右移一位，然后初值赋为-1而得，那么优化后的next 数组如何快速心算出呢？实际上，只要求出了原始next 数组，便可以根据原始next 数组快速求出优化后的next 数组。还是以abab为例，如下表格所示：

只要出现了p[next[j]]=p[j]的情况，则把next[j]的值再次递归。例如在求模式串“abab”的第2个a的next值时，如果是未优化的next值的话，第2个a对应的next值为0，相当于第2个a失配时，下一步匹配模式串会用p[0]处的a再次跟文本串匹配，必然失配。所以求第2个a的next值时，需要再次递归：next[2]=next[next[2]]=next[0]=-1（此后，根据优化后的新next值可知，第2个a失配时，执行“如果j=-1，或者当前字符匹配成功（即S[i]==P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符”），同理，第2个b对应的next值为0。

对于优化后的next数组可以发现一点：如果模式串的后缀跟前缀相同，那么它们的next值也是相同的，例如模式串abcabc，它的前缀后缀都是abc，其优化后的next数组为：-100-100，前缀后缀abc的next值都为-100。

完整的KMP代码：

1 /** 2      * KMP算法 3      * 4      * @param ss 主串 5      * @param ps 模式串 6      * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1 7      */ 8     public static int KMP(String ss, String ps) { 9         char[] s = ss.toCharArray();10         char[] p = ps.toCharArray();11 12         int i = 0; // 主串的位置13         int j = 0; // 模式串的位置14         int[] next = getNext(ps);15         while (i < s.length && j < p.length) {16             //①如果j=-1，或者当前字符匹配成功（即S[i]==P[j]），都令i++，j++17             if (j == -1 || s[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归018                 i++;19                 j++;20             } else {21                 //②如果j!=-1，且当前字符匹配失败（即S[i]!=P[j]），则令i不变，j=next[j]，j右移i-next[j]22                 j = next[j];23             }24         }25         return j == p.length ? i - j : -1;26     }27 28 //优化过后的next数组求法29     public static int[] getNext(String ps) {30         char[] p = ps.toCharArray();31         int[] next = new int[p.length];32         next[0] = -1;33         int j = 0;34         int k = -1;35         while (j < p.length - 1) {36             //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀37             if (k == -1 || p[j] == p[k]) {38                 //较之前next数组求法，改动在下面4行39                 if (p[++j] == p[++k]) {40                     next[j]=next[k];// 当两个字符相等时要跳过41                 } else {42                     next[j]=k;//之前只有这一行43                 }44             } else {45                 k = next[k];46             }47         }48         return next;49     }

接下来，咱们继续拿之前的例子说明，整个匹配过程如下：

① S[3]与P[3]匹配失败。

② S[3]保持不变，P的下一个匹配位置是P[next[3]]，而next[3]=0，所以P[next[3]]=P[0]与S[3]匹配。

③ 由于上一步骤中P[0]与S[3]还是不匹配。此时i=3，j=next [0]=-1，由于满足条件j==-1，所以执行“++i, ++j”，即主串指针下移一个位置，P[0]与S[4]开始匹配。最后j==pLen，跳出循环，输出结果i - j = 4（即模式串第一次在文本串中出现的位置），匹配成功，算法结束。